Berechnung Von Delta Auf Fx Optionen

Option Greeks Excel Formeln Dies ist der zweite Teil des Black-Scholes Excel-Handbuchs für Excel Berechnungen der Option Griechen (Delta, Gamma, Theta, Vega und Rho) unter dem Black-Scholes-Modell. Ich werde in dem Beispiel aus dem ersten Teil fortfahren, um die genauen Excel-Formeln zu demonstrieren. Einzelheiten zu Parametern und Excel-Formeln für d1, d2, Anrufpreis und Put-Preis finden Sie im ersten Teil. Hier finden Sie detaillierte Erklärungen zu allen Black-Scholes Formeln. Hier sehen Sie, wie alles in Excel im Black-Scholes-Rechner zusammenarbeitet. Delta in Excel Delta ist für Anruf - und Put-Optionen unterschiedlich. Die Formeln für delta sind relativ einfach und so ist die Berechnung in Excel. Ich berechne Anrufdelta in Zelle V44, die im Beispiel aus dem ersten Teil fortfährt. Wo ich bereits die beiden einzelnen Ausdrücke in den Zellen M44 und S44 berechnet habe: Die Berechnung von put delta ist mit den gleichen Zellen fast gleich. Fügen Sie einfach minus eins und don8217t vergessen die Klammern: Gamma in Excel Die Formel für Gamma ist das gleiche für Anrufe und Puts. Es ist etwas komplizierter als die Delta-Formeln oben: Beachten Sie insbesondere den zweiten Teil der Formel: Diesen Begriff finden Sie auch bei der Berechnung von Theta und Vega. Es ist die Standard-Normalwahrscheinlichkeitsdichtefunktion für - d1. In Excel sieht die Formel folgendermaßen aus: 8230 wobei K44 die Zelle ist, wo Sie d1 berechnet haben (siehe erster Teil). Alternativ kannst du die Excel-Funktion NORM. DIST verwenden, die ich auch im ersten Teil erklärt habe. Der einzige Unterschied vom ersten Teil ist, dass der letzte Parameter (kumulativ) nun FALSE ist. Don8217t vergessen das Minuszeichen vor K44: Diese beiden Formeln müssen das gleiche Ergebnis zurückgeben. Im Beispiel aus dem Black-Scholes-Rechner verwende ich die erste Formel. Die ganze Formel für Gamma (die gleiche für Anrufe und Puts) ist: Theta in Excel Theta hat die längsten Formeln der fünf häufigsten Option Griechen. Es ist anders für Anrufe und Puts, aber die Unterschiede sind wieder nur ein paar Minuszeichen hier und da und du musst sehr vorsichtig sein. Theta ist für viele Optionen sehr klein, was es oft schwierig macht, einen möglichen Fehler in Ihren Berechnungen zu erkennen. Obwohl es kompliziert aussieht, sollten alle Symbole und Ausdrücke in den Formeln bereits aus den Berechnungen der Optionspreise und delta und gamma oben bekannt sein. Eine Ausnahme bildet das T am Anfang der Formeln. T ist die Anzahl der Tage pro Jahr. Sie können entweder Kalendertage (T365 oder 365,25) oder Handelstage (T252 oder etwas ähnliches, je nachdem, wo Sie handeln). Basierend auf Ihrer Auswahl erfolgt die Interpretation von theta entweder als Optionspreisänderung in einem Kalendertag oder als Optionspreisänderung an einem Handelstag. Call-Option Theta Die gesamte Formel für die Call-Theta in unserem Beispiel ist in Zelle X44. Es ist lang und verwendet mehrere (10) andere Zellen, aber es gibt keine hohe Mathematik: (- (A44EXP (-1POWER (K44,2) 2) SQRT (2PI ()) C44S44 (2SQRT (G44))) - (D44R44O44 (E44A44M44S44)) IF (C202,8217Time Units8217D4,8217Time Units8217D3) Die letzte Zeile der Formel im obigen Screenshot ist die T. Zelle C20 im Taschenrechner enthält eine Kombination, bei der Benutzer Kalendertage oder Handelstage auswählen. Die Zellen D3 und D4 im Blatt Zeiteinheiten enthalten die Anzahl der Kalender - und Handelstage pro Jahr. Wenn Sie es einfach halten wollen, können Sie die ganze letzte Zeile der Formel durch eine feste Zahl ersetzen, z. B. 365. Sie können die Erläuterung aller einzelnen Zellen im ersten Teil wieder finden oder alle diese Excel-Berechnungen direkt einsehen der Rechner . Setzen Sie die Option Theta analog auf, um die Theta aufzurufen, ist die Formel für put theta in Zelle AD44: (- (A44EXP (-1POWER (K44,2) 2) SQRT (2PI ()) C44S44 (2SQRT (G44))) (D44R44P44) (E44A44N44S44)) IF (C202,8217Time Units8217D4,8217Time Units8217D3) Vega in Excel Die Formel für vega ist die gleiche für Anrufe und Puts: Es gibt nichts Neues. Man kann wieder den vertrauten Begriff am Ende sehen. Im Berechnungsbeispiel berechne ich vega in Zelle Y44: Rho in Excel Rho ist wieder anders für Anrufe und Puts. Es gibt zwei weitere Minuszeichen in der put rho Formel. Im Berechnungsbeispiel berechne ich den Aufruf rho in Zelle Z44. Es ist einfach ein Produkt aus zwei Parametern (Basispreis und Zeit bis zum Ausatmen) und Zellen, die ich bereits in vorherigen Schritten berechnet habe: Ich berechne put rho in Zelle AF44, wieder als Produkt von 4 anderen Zellen, geteilt durch 100. Achten Sie darauf Setzen Sie das Minuszeichen an den Anfang: Mehr über die Option Greeks in Excel Sie können auch Excel und die obigen Berechnungen (mit einigen Modifikationen und Verbesserungen) verwenden, um das Verhalten der einzelnen Option Griechen und Optionspreise in unterschiedlichen Marktsituationen zu modellieren (Änderungen im Black - Scholes-Modellparameter). Das geht über den Rahmen dieses Handbuchs hinaus, aber Sie finden es im Black-Scholes Calculator und PDF Guide. Indem Sie auf dieser Website und unter Verwendung von Macroption-Inhalten verbleiben, bestätigen Sie, dass Sie die Nutzungsbedingungen-Vereinbarung gelesen haben und damit einverstanden sind, als ob Sie sie signiert haben. Das Abkommen enthält auch Datenschutzrichtlinien und Cookies. Wenn Sie mit irgendeinem Teil dieser Vereinbarung nicht einverstanden sind, verlassen Sie bitte die Website und beenden Sie die Verwendung von Macroption-Inhalten. 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Technisch ist der Wert der Optionen delta die erste Ableitung des Wertes der Option in Bezug auf den zugrunde liegenden Wertpapierpreis. Delta wird oft von Investment-Profis und Händlern für Hedging-Strategien verwendet. Delta-Verhalten Beispiele Delta ist eine wichtige Statistik zu berechnen, wie es ist einer der Hauptgründe Optionspreise bewegen, wie sie es tun. Das Verhalten von Call - und Put-Option-Delta ist sehr vorhersehbar und für Portfoliomanager, Trader und einzelne Anleger sehr nützlich. Das Call-Option-Delta-Verhalten hängt davon ab, ob die Option in-the-money ist, dh die Position ist derzeit rentabel, at-the-money, was bedeutet, dass der Options-Basispreis aktuell dem zugrunde liegenden Aktienpreis entspricht oder Out-of-the-money, Dh die Option ist derzeit nicht rentabel. In-the-money-Call-Optionen näher zu 1 als expiration Ansätze. Bei den Geldanrufoptionen weisen typischerweise ein Delta von 0,5 auf, und das Delta von Out-of-the-money-Anrufoptionen nähert sich 0 als Expirationsansätze. Je tiefer der Geldbetrag die Call-Option ist, desto näher ist das Delta auf 1 und desto mehr wird sich die Option wie der zugrunde liegende Vermögenswert verhalten. Put Option Delta-Verhalten hängt auch davon ab, ob die Option in-the-money, at-the-money oder out-of-the-money ist und sind das Gegenteil von Call-Optionen. In-the-money-Put-Optionen näher an -1 als Exspiration Ansätze. Bei den Geld-Put-Optionen gibt es typischerweise ein Delta von -0,5, und das Delta von Out-of-the-money-Put-Optionen nähert sich 0 als Expirationsansätze. Je tiefer in-the-money die Put-Option, desto näher wird das Delta auf -1 sein. Greeks of Options auf Nicht-Zinsinstrumente Um eine Option zu bewerten, müssen nicht nur die Optionen fair value, sondern auch verschiedene Risikostatistiken berechnet werden , Wie Delta, Gamma, Vega und so weiter. Diese Risikostatistik wird auch als griechisch bezeichnet. Griechen messen Empfindlichkeiten eines Optionswertes auf bestimmte Variablen und werden meist zu Absicherungszwecken eingesetzt. Der wichtigste Grieche ist das Delta. Die Absicherung einer Option mit einem Delta wird als Delta-Hedging bezeichnet. Um eine Option zu sichern, passt man sein Portfolio dynamisch an, indem es eine kurze oder lange Position auf Delta-Einheiten des Basiswerts pro einer Einheit der Option, bei der heshe lang oder kurz ist, nimmt. Eine gute Schätzung des Deltas ist für den Aufbau eines Delta-Hedging-Portfolios von entscheidender Bedeutung. Eine gute Schätzung bedeutet ein gutes Gleichgewicht zwischen Genauigkeit und Stabilität. In diesem Dokument wird allgemein erläutert, wie Greeks in der FINCAD-Mathematik-Bibliothek für Optionen auf nicht verzinsliche Instrumente wie Aktienoptionen, Rohstoffoptionen und Devisenoptionen berechnet werden. Formeln amp Technische Daten Definitionen von Griechen Die Veränderungsrate des beizulegenden Zeitwerts der Option in Bezug auf den aktuellen Wert des Basiswertes, wenn andere Variablen konstant bleiben. Dies ist die Ableitung des Optionspreises in Bezug auf den aktuellen Wert des Basiswerts. Die Änderungsrate des Wertes von delta gegenüber dem aktuellen Wert des Basiswertes, wenn andere Variablen konstant bleiben. Dies ist die zweite Ableitung des Optionspreises in Bezug auf den aktuellen Wert des Basiswerts. Die Veränderungsrate des beizulegenden Zeitwerts der Option pro Tag verringert sich in der Optionszeit, wenn andere Variablen konstant bleiben. Dies ist das Negativ des Derivats des Optionspreises in Bezug auf die Optionszeit (in Jahren), dividiert durch 365. Die Veränderungsrate des beizulegenden Zeitwerts der Option pro 1 Volatilitätsänderung, wenn andere Variablen konstant bleiben. Dies ist die Ableitung des Optionspreises in Bezug auf die Volatilität, dividiert durch 100. Die Veränderungsrate des beizulegenden Zeitwerts der Option pro 1 Änderung des risikofreien Satzes, wenn andere Variablen konstant bleiben. Dies ist die Ableitung des Optionspreises in Bezug auf den risikofreien Zinssatz, dividiert durch 100. rho der Haltekosten Die Veränderungsrate des beizulegenden Zeitwertes der Option je 1 Änderung der Haltekosten (oder Dividendenrendite), wenn andere Variablen konstant bleiben. Dies ist die Ableitung des Optionspreises in Bezug auf die Beteiligungskosten, dividiert durch 100. Wenn der Basiswert Futures ist, ist diese Statistik nicht verfügbar. Schätzung der Griechen Griechen mit geschlossenen Lösungen Basierend auf dem logarithmischen Normalmodell von Black-Scholes hat eine Standardanruf - oder Put-Option eine geschlossene Formulierung. Für eine solche Option können auch geschlossene Formeln für ihre Grieche abgeleitet werden. In diesem Fall können die Grieche direkt ohne jede numerische Näherung berechnet werden, die nicht die Berechnung einer kumulativen Normalverteilung ist. Für die geschlossenen Formeln der Grieche siehe Haug 1. Griechen, die von einem Binomialbaum genommen werden. Einige Optionen, insbesondere Bermuda - oder amerikanische Optionen, werden oft mit der Rubinstein-Binomialbaummethode bewertet. Mit dieser Methode können die greeks, delta, gamma und theta direkt aus dem Baum genommen werden, der gebaut wird, um die Optionen fair value zu berechnen. Auf diese Weise ist keine Neubewertung erforderlich und somit wird Rechenzeit eingespart. Erinnern Sie sich, dass ein Rubinstein-Binomialbaum eine Baumstruktur auf dem Preis eines Finanzinstruments ist. Für einen gegebenen Zeithorizont, z. B. Zeit bis zur Fälligkeit einer Option, wird das Zeitintervall zwischen 0 und dem Zeithorizont in gleich beabstandete Perioden unterteilt. Jede Periode, die als Zeitschritt bezeichnet wird, ist mit mehreren Preisszenarien verbunden, den sogenannten Knoten. Ein Knoten hat zwei Zweige, von denen einer nach oben und der andere nach unten geht. An einem Knoten mit einem Preis von. Der Basiswert erhöht sich auf. woher . Oder im nächsten Schritt abnehmen. Eine Option wird bewertet, indem zuerst die Werte der Option an jedem der Knoten bei den Optionsverzögerungen berechnet werden, und dann Iteration rückwärts, um die Werte der Option an anderen Knoten zu berechnen. Bei einem gegebenen Knoten wird der Optionswert bestimmt, indem der Höchstbetrag der Optionen und der diskontierte erwartete zukünftige Wert für eine Bermudan - oder American-Style-Option und einfach dessen diskontierte erwartete zukünftige Wert für eine europäische Option festgelegt werden. Der Wert der Option am Stamm des Baumes ist dann der Wert der betreffenden Option. Geben Sie den Kassakurs des Basiswerts und den Optionswert an. Eine Schätzung der Optionen delta ist: wo ist die Änderung des Optionswertes, wenn der Preis der zugrunde liegenden Änderungen durch In einem Binomialbaum gelassen und die Optionswerte an den Knoten und. beziehungsweise. Dann kann eine Schätzung der Optionen Delta wie folgt berechnet werden: Ein Gamma ist die Änderung des Deltas dividiert durch die Änderung des Kurses des Basiswerts. Zur Abschätzung werden auch die Fair Values ​​der Option an den Knoten im Zeitschritt 2 benötigt. Angenommen, die Fair Values ​​im Zeitschritt 2 (entsprechend den drei möglichen Basiskursen unter Berücksichtigung, dass. Zur Schätzung einer Gamma, betrachten Sie die Differenz der Deltas, wenn der zugrunde liegende Preis auf halbem Weg zwischen und und auf halbem Weg zwischen und ist Da die beiden Deltas Sind: und die zugrunde liegende Änderung ist: Ein Gamma kann dann geschätzt werden als: Theta ist die Änderungsrate des Optionswerts in Bezug auf die Zeitänderung, wenn der zugrunde liegende Preis und andere Parameter gleich gehalten werden 2 der mittlere Knoten den gleichen Grundpreis wie der Spotpreis zum Zeitpunkt 0 hat, ist eine Schätzung von theta: Für weitere Details eines Rubinstein-Binomialbaumes und die Schätzung von Griechen aus einem Binomialbaum siehe Hull 2. Griechen, die aus einer Finite Differenzen-Gitter Bermudan oder amerikanische Optionen können auch durch Lösen der zugrundeliegenden No-Arbitrage-Gleichung bewertet werden: Dies ist eine partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung in zwei Variablen (dem zugrunde liegenden Assetpreis und - zeit) und kann numerisch durch die Konstruktion eines Gitters gelöst werden Von Punkten in diesen beiden Variablen und unter Verwendung von finiten Differenzen zur Annäherung der Ableitungen. Die griechischen Delta, Gamma und Theta können direkt aus dem Netz genommen werden und keine Neubewertung ist erforderlich. Der erste Schritt ist, ein Gitter von Punkten in den beiden Variablen, Asset-Preis und Zeit, die mit i und j. Das Zeitintervall zwischen 0 und dem Zeithorizont ist in Perioden unterteilt, die nicht gleich beabstandet sein müssen (Zeitpunkte können an wichtigen Terminen hinzugefügt werden, z. B. auf den Cashflows). Die wahrscheinliche endgültige Spanne des zugrunde liegenden Vermögenswertes wird ebenfalls in Perioden unterteilt, was ein zweidimensionales Raster von Punkten ergibt. Der Barwert des Basiswerts kann auch so gestaltet werden, dass er genau auf einen der Gitterpunkte fällt. Eine Option wird bewertet, indem zuerst die Werte der Option an jedem der Gitterpunkte bei den Optionsverzögerungen berechnet werden und dann nach rückwärts geleitet wird, um die Werte der Option zu anderen Zeitschritten zu berechnen. Verschiedene Finite-Differenzen-Schemata können verwendet werden, wobei das populärste und genaueste das Crank-Nicolson-Schema ist. Bei jedem Zeitschritt wird ein Vektor von Optionspreisen an jedem der Assetschritte erstellt, und für diesen Vektor der Optionspreise wird eine Matrixgleichung gelöst. Der Barwert der Option ist dann die Komponente des Zeit-0-Vektors, die dem Barwert des zugrundeliegenden Kurses entspricht. Geben Sie den Kassakurs des Basiswertes, die Vermögensschrittweite und den Optionspreis am Rasterpunkt an. Eine Schätzung der Optionen delta ist: wo ist der vorhandene Wert (time-0) am Gitterpunkt. Dies ist die zentrale Differenzannäherung für delta und ist genauer als entweder die Vorwärts-Rückwärtsdifferenz: der Fehler ist. Ein Gamma ist die Änderung des Deltas dividiert durch die Änderung des Kurses des Basiswertes. Die natürliche Näherung dafür ist: Der Fehler in dieser Näherung ist auch. Theta ist die Änderungsrate des Optionswerts in Bezug auf die Zeitänderung, wenn der zugrundeliegende Kurs und andere Parameter gleich gehalten werden. Es gibt verschiedene Annäherungen, die wir verwenden können, um den Wert von theta zu schätzen, derjenige, der in dem Crank-Nicolson-Schema verwendet wird: wobei der Optionswert zur Zeit ist. Einen Zeitschritt aus dem heutigen Tag und am Rasterpunkt. Für weitere Details eines Rubinstein-Binomialbaumes und die Schätzung von Griechen aus einem Binomialbaum, siehe Wilmott 3. Griechen, die mit der Bumping-Methode berechnet Griechen der meisten exotischen Optionen haben keine einfachen geschlossen-Form-Lösungen. Wenn solche Optionen nicht mit einer Baummethode bewertet werden oder wenn die Grieche nicht direkt aus dem Baum genommen werden können, ist eine numerische Näherung erforderlich, um sie zu schätzen. In der FINCAD-Mathematik-Bibliothek wird eine allgemeine Näherungsmethode, die sogenannte Bumping-Methode, verwendet. Dies ist eine numerische Standardmethode für die Berechnung eines Funktionsderivats. Die Formeln sind unten für die Abschätzung der Ableitungen erster und zweiter Ordnung einer Funktion Schätzung der Ableitungen erster Ordnung A. Für eine einseitige Approximation: B. Für eine zweiseitige Approximation: Schätzung der Ableitungen zweiter Ordnung Auswahl des Anschlages Größe Eine natürliche Frage zu fragen ist, dass das, was die beste Wahl einer bumping Größe ist. Mathematisch, wenn die Ableitung einer Funktion existiert, ist die Näherung um so genauer, je kleiner die Stichgröße ist. Allerdings ist bei der Implementierung eine kleine Stichgröße nicht immer eine gute Lösung. Eine kleine stoßende Größe kann eine Schätzung instabil machen. Wenn die Stoßgröße abnimmt, kann das resultierende Derivat flüchtig werden, da sich die darunter liegende Variable leicht ändert. Instabile Grieche können Schwierigkeiten zur dynamischen Absicherung einer Option bringen. Bei FINCAD-Funktionen werden zwei Arten von Stoßgrößen, absolute und relative, verwendet. Das Näherungsverfahren kann einseitig oder zweiseitig sein. Die Verwendung einer bestimmten Stoßgröße oder eines Näherungsverfahrens basiert auf der Berücksichtigung von Genauigkeit, Stabilität und Einfachheit. Im Folgenden sind die in der FINCAD-Mathematik-Bibliothek verwendeten Bumping-Größen aufgeführt. Delta und Gamma Typ 1: Eine absolute Bumping-Größe Typ 2: Eine relative Bumping-Größe, wo eine Konstante ist. In den meisten Fällen und in anderen Fällen. Anpassungen der Stoßgröße werden für einige Fälle verwendet. Wenn z. B. bei einer Barrier-Optionsfunktion der gestoßene Preis eine Barriere überschreitet, wird die Bumpgröße reduziert, so dass der gestoßene Preis die Barriere nicht überschreitet. Eine absolute Bumpinggröße wird immer verwendet: wobei für die meisten Optionsfunktionen die Konstante und in anderen Fällen 0,001 ist. Beachten Sie, dass Vegas und Rhos immer um 1100 skaliert sind. Das Theta wird mit einer absoluten Bumping-Größe von einem Tag (1365, ungefähr) gestoßen und wird um 1365 skaliert. Rigorously: Wo ist der Wert einer Option am Datum References